Родился в г. Новониколаевске (ныне Новосибирск) в семье служащего. В 1938 г. окончил Новосибирский техникум советской торговли. В том же году был призван в Красную армию и направлен в военное училище. В 1941 г., после окончания Читинского военного пехотного училища, направлен в действующую армию. Воевал на Северо-Западном и Степном фронтах. Отличился при прорыве сильно укрепленной оборонительной полосы противника в районе с. Лиховка (ныне посёлок Пятихатского р-на Днепропетровской обл., Украина) 15 октября 1943 г., проявив исключительный героизм и умение командовать подразделением. В критический момент боя в районе д. Верхнекаменистая бросился на вражеский танк с гранатой. Указом ПВС СССР от 22 февраля 1944 г. старшему лейтенанту Аксёнову Александру Михайловичу присвоено звание Героя Советского Союза (посмертно). Награждён орденом Ленина. Был похоронен на месте боя, после войны перезахоронен в центре с. Михайловка Пятихатского района. В Новосибирске на улице в Первомайском районе, носящей его имя, установлена мемориальная доска; имя Героя Советского Союза Александра Михайловича Аксёнова увековечено на Аллее Героев у Монумента Славы.