Родился в семье приказчика в Раненбурге (ныне – г. Чаплыгин Липецкой обл.). В 1886 г. с золотой медалью окончил Воронежскую мужскую гимназию. В 1890 г. окончил физико-математический факультет Московского университета. С 1893 г. преподавал физику в Московском Екатерининском институте, механику в Императорском Московском техническом училище (1896–1910), высшую математику и теоретическую механику – в Московском межевом институте (1895–1901), прикладную математику – в Московском университете. В 1901–1908 гг. он преподавал также в Московском инженерном училище (ныне – Московский государственный университет путей сообщения). В связи с событиями 1911 г. покинул университет с большой группой преподавателей. В 1905–1918 гг. – директор Московских высших женских курсов (МВЖК). В 1918–1919 гг. – ректор 2-го Московского государственного университета, в который МВЖК были преобразованы. С 1918 г. Чаплыгин участвует в работе Комиссии особых артиллерийских опытов при Главном артиллерийском управлении и в работе Научноэкспериментального института путей сообщения, а в конце 1918 г. привлекается Жуковским к организации Центрального аэрогидродинамического института (ЦАГИ), где и начинает работать. В 1918–1925 гг. Чаплыгин – профессор Московского лесотехнического института. За вклад в науку Чаплыгин 6 декабря 1924 г. был избран членом-корреспондентом Российской Академии наук, а 12 января 1929 г. – академиком Академии наук СССР. В 1921–1930 гг. он – председатель коллегии, в 1928–1931 гг. – директор-начальник ЦАГИ. В научно-теоретическом семинаре ЦАГИ под руководством С. А. Чаплыгина вырос цвет отечественной механической науки (М. А. Лаврентьев, М. В. Келдыш, Н. Е. Кочин, Л. И. Седов, Г. И. Петров, Л. С. Лейбензон, С. А. Христианович и др.). В последующие годы Чаплыгин руководил созданием крупнейших аэродинамических лабораторий ЦАГИ (1931–1941). В 1941 г. удостоен звания Героя Социалистического труда. В октябре 1941 г. С. А. Чаплыгин переехал в Новосибирск, куда была эвакуирована и часть лабораторий ЦАГИ. Эти лаборатории образовали филиал ЦАГИ № 2, из которого впоследствии вырос Сибирский научно-исследовательский институт авиации им. С. А. Чаплыгина (СибНИА). В Новосибирске С. А. Чаплыгин возглавил комитет учёных, занимавшийся решением важнейших оборонных проблем. Умер 8 октября 1942 г., похоронен в Новосибирске на территории СибНИА.